1892. november 2-án született a bácskai Apatinban (ma: Szerbia). Csodagyerekként indult, tizenhét évesen miniszteri engedéllyel iratkozott be a Zeneakadémia zeneszerzés szakára, záróvizsgáján vonósnégyese elsőhegedű szólamát a később karmesterként világhírnevet szerzett Ormándy Jenő játszotta.

Mivel szülei ragaszkodtak hozzá, hogy "rendes" állása legyen, elvégezte a Kereskedelmi Akadémiát is, s egészen 1927-ig tőzsdebizományosként és banktisztviselőként dolgozott.

Estéit azonban a színházban töltötte, s hamarosan az egyik dzsesszzenekar élén debütált. Először azzal keltett feltűnést, hogy frakkban, fehér kesztyűben, de pálca nélkül vezényelt, idővel aztán megpróbálkozott a zeneszerzéssel is. 1928-ban került az Operettszínházba karmesternek, s még ugyanabban az évben Harmath Imre szövegíró rábeszélésére operett komponálásába fogott. A Zenebona, majd Az utolsó Verebély lány is hatalmas sikert aratott, s meghódította az európai, sőt a New York-i közönséget is. Érdekesség, hogy Ábrahám ekkor még oly kevéssé bízott magában, hogy első operettjének reklámanyagain nem szerzőként, hanem összeállítóként tüntették fel nevét.

A harmincas évek elején Németországba költözött, 1932-ben itt mutatták be Bál a Savoyban című, világsikert arató operettjét, Viktória és Hawaii rózsája című darabját. Utóbbit 67 európai színházban játszották egyszerre, s számtalan nyelvre lefordították, Ábrahám a legünnepeltebb szerzők közé emelkedett. A nagy elődök - Lehár Ferenc, Kálmán Imre, Huszka Jenő - dallamvilága után ő a dzsesszt szólaltatta meg, darabjaiért rajongott a két világháború között a szórakozni vágyó közönség. 17 operettje közül több világsiker lett, igaz jó néhány elsikkadt, s csak egyes betétdalai éltek tovább.

A fasizmus hatalomra kerülését követően Párizsba, majd Bécsbe költözött, végül hazatért. Itthon született a Mese a Grand Hotelban, a Történnek még csodák, a 3:1 a szerelem javára, a Júlia című operettje, főszerepben Honthy Hannával. Több operettjét megfilmesítették, ő maga több mint harminc filmhez írt zenét itthon és külföldön, a Lila akác címadó dalát milliók dúdolták.

Ábrahám pályafutása csúcsára ért, mégis úszott az adósságokban, egyik napról a másikra élt. Az állandó szorongás, az egyre vészterhesebb politikai fejlemények kikezdték idegrendszerét, s ismét külföldre ment. Párizsban tehetségéhez méltatlan körülmények között, sokszor harmadrangú mulatókban lépett föl, pár száz frankért még bölcsődalokat is írt. A második világháború kitörésekor Amerikába távozott, ahol filmzenéket komponált. Az adósságbehajtók itt is megtalálták, depressziója állandósult, s pszichiátriai kezelésre szorult. 1956-ban Hamburgban telepedett le, egyre romló állapota miatt azonban zeneszerzéssel nem foglalkozott, szanatóriumba került. 1960. május 6-án halt meg Hamburgban, halálának híre itthon elsikkadt.