A fasori evangélikus gimnáziumba járt, és a mérnöki pályára készült. Már gyermekkorában kiválóan mondott verseket, iskolái során mindig ő volt az ünnepi szavaló. Szabadidejét a sport töltötte ki: síkfutó és gátfutó ifjúsági bajnok volt, később alapítója és jobbszélsője volt a színészválogatottnak.

Apja elvesztette állását, ezért érettségi után dolgoznia kellett, a Vasas ügyvezető elnöke a Britannia (a későbbi Béke) Szállóban helyezte el. Ott versmondóként vett részt a "dolgozó népnek" szervezett kultúrmunkában, és a rendezvényeken részt vevő színészek bíztatására jelentkezett a színiakadémiára. Szerencséjére éppen akkor indult az első esti tagozat, a nappalit ugyanis a munka miatt nem vállalhatta. Másodévesen szerződtette ösztöndíjasnak a Vígszínház (akkor Néphadsereg Színháza). Egy sikeres beugrás - Görbe János szerepét vette át néhány órás szereptanulással - után kapta meg a Trisztán címszerepét, amely óriási szakmai és közönségsikert hozott számára. Diplomázásának évében, 1953-ban forgatta Bán Frigyes rendezővel a Rákóczi hadnagyát, amelynek címszerepében - Bornemissza János kuruc hadnagyot alakította - újfent kirobbanó sikert aratott, és országosan ismert színésszé vált.

1959-ben követte mentorát, Gellért Endrét a Nemzeti Színházba. Gellért halála után nem találta a helyét, így 1964-ben visszament a Vígszínházba, ahol tíz évet töltött el. Voltak, akik operaénekest akartak belőle csinálni, hiszen hangja két és fél oktávos volt, de nem akarta feladni a színészi pályát - hiszen eljátszhatta egyebek között Cyrano, Agárdi Péter, Ádám, Csongor, Bánk, Kreon szerepét.

Várkonyi Zoltán, a Vígszínház vezetője filmjeiben is foglalkoztatta: a vonzó megjelenésű, szép orgánumú művész hősszerepeket játszhatott A kőszívű ember fiaiban, az Egy magyar nábobban, a Kárpáthy Zoltánban és az Egri csillagokban. Romantikus alkat lévén nem esett nehezére a lánglelkű hősök megformálása; azokban az években zsákszámra kapta a leveleket női rajongóitól. Látható volt az Egy pikoló világos, a Dúvad, a Légy jó mindhalálig, a Szerelmi álmok, A néma dosszié, az Idő van, a Banánhéjkeringő, a Napló szerelmeimnek, a Honfoglalás, a Sobri című filmekben és számos tévéjátékban is.
Miután Várkonyival nézeteltérése támadt, és kevesebb szerepet kapott a színházban, önálló estjével járta az országot. 1974-ben a Thália Színházhoz szerződött; a később Arizona, illetve Művész Színház néven dolgozó társulat 1996-ban szűnt meg. Bár Bitskey megalázóan kevés nyugdíjat kapott, hitét nem veszítette el: a protestáns egyházak támogatásával létrejött Evangélium Színház előadásaiban, valamint Szolnokon játszik, emellett gyakran hívják verset mondani és szinkronizál is.

A közönség szeretetét ma is élvező, és magyarságát mindig büszkén megvalló művészt kétszer ismerték el Jászai Mari-díjjal (1958, 1962), a Kossuth-díjat 2000-ben kapta meg. Két házasságából három gyermeke született.