Zenészcsaládban született, apja, Fischer Sándor és öccse, Iván is karmester. A testvérek a lakásukkal szemben fekvő Operaház gyermekkórusának tagjaként több operában is szerepeltek. Ádám a Bartók Béla Konzervatóriumban zongora és zeneszerzés szakon végzett, majd Bécsben, Velencében és Sienában folytatta tanulmányait.
Nemzetközi karrierjét 1973-ban milánói versenygyőzelme indította el, azóta dirigált a Bécsi Állami Operaházban, a Párizsi Operában, a milánói Scalában, a londoni Covent Gardenben és a New York-i Metropolitanben, és olyan neves zenekarokat vezényelt, mint a Bécsi Filharmonikusok, a Londoni Filharmonikus Zenekar, a Chicagói és a Bostoni Szimfonikusok.

A helsinki, a karlsruhei, a müncheni operaház első karmestere, a freiburgi, majd a kasseli színház zeneigazgatója volt. 1989-ben Kasselban megszervezte az első Gustav Mahler fesztivált, 1991-ben az ő vezényletével nyílt meg a Mozart-év a bécsi Konzerthausban. Tíz éve vezetője a Dán Rádió Kamarazenekarának, 2000-2005 között a Mannheimi Nemzeti Színház operaegyüttesét vezette. Visszatérő vendég Bayreuthban, 2001-es debütálását az Opernwelt szakmai folyóirat Az év karmestere címmel ismerte el, 2001-2004 között ő vezényelte a Ring összes előadását. 1980 óta rendszeresen hívják a Salzburgi Ünnepi Játékokra is, idén Mozart Cosi fan tutte című operáját dirigálta.
1987-es megalakulása óta művészeti vezetője az Osztrák-Magyar Haydn Zenekarnak, amellyel a komponista összes szimfóniáját lemezre vette, szervezője a kismartoni Haydn-fesztiváloknak. 2004-től zenei tanácsadóként vezette a Magyar Rádió zenei együtteseit, 2005-től a Magyar Rádió Szimfonikus Zenekarának állandó vendégkarmestere, 2006-2008 között zeneigazgatója volt. 2007-ben a Magyar Állami Operaház főzeneigazgatójának nevezték ki, idén júliustól a művészeti tanácsadó testület elnöke.

Az először három éve megrendezett Wagner Fesztivállal nemzetközi visszhangot kiváltó hagyományt teremtett. (A német mester zenéjét kiskorában nem kedvelte, mert "kötelező feladatként" kellett hallgatnia, de felnőtt fejjel visszatalált hozzá, sőt szavai szerint ma már kábítószer számára.) A tavalyi Wagner-napok keretében négy egymást követő napon került színre a Ring-tetralógia a Művészetek Palotájában; az "őrült vállalkozásra" a világon addig nem volt példa.

Fischer Ádám szeptember végén az Operaház fennállásának 125. évfordulóján rendezendő ünnepi koncerten a Lohengrin I. felvonását fogja vezényelni. Legközelebbi bemutatója Bartók A kékszakállú herceg vára című operája, amire harminc éve készül, és afféle "segédrendezői" minőségben is részt vesz a produkció kidolgozásában. Karácsonykor a Vígszínházban A varázsfuvolát dirigálja magyar nyelvű előadáson, hogy azt a legfiatalabbak is élvezhessék; ugyanezért szervez néhány éve újévi koncertet a gyermekek számára.

Fischer Ádám tavaly Kossuth-díjat kapott, idén a Magyar Kultúra Követe lett és a Magyar Köztársasági Érdemrend Középkeresztje a Csillaggal kitüntetést vehette át.