Siklóson látta meg a napvilágot Nagy Sándor néven. Érettségi után jelentkezett a Zeneakadémia tehetségkutató meghallgatására, ahol kíséret nélkül énekelte Germont áriáját Verdi Traviátájából.

Azonnal felvették, de mivel még kottát sem tudott olvasni, két évig előkészítőbe járt, utána azonban a főiskola öt évét négy év alatt végezte el. Még zeneiskolai évei alatt az Opera színpadán együtt énekelhetett a címszereplő Svéd Sándorral a Rigolettóban.

Maleczky Oszkár és Kutrucz Éva növendékeként szerzett operaénekesi és művésztanári diplomát, majd 1966-ban az Operaházhoz szerződött.

A közönségnek Puccini Toscájában, Scarpia szerepében mutatkozott be.

Nem telt bele hosszú idő, a társulat hősbaritonja lett, kivételes tehetségét közel ötven főszerepben bizonyíthatta. Svéd Sándor, Losonczy György, Jámbor László, Radnay Görgy, Melis György szerepeinek örököseként több mint nyolcvan szerepben lépett színpadra. Sólyom-Nagy Sándor legjobb alakításai közül is kiemelkedik Petúr bán szerepe a Bánk bánból, Verdi operái közül a Rigoletto címszerepe, a Falstaff Fordja, Jago az Otellóból, Amonasro az Aidából, Escamillo Bizet Carmenjéből és Hans Sachs Wagner: A nürnbergi mesterdalnokok című alkotásából.

Gyakran fellépett oratórium- és dalénekesként, számos kortárs szerző művének bemutatóján működött közre, hatalmas sikerrel énekelte Bartóktól A kék szakállú herceg várát és a Cantata Profana szólóját. Rendszeresen vendégszerepelt külföldön, a bécsi és a müncheni Staatsoperben, Belgiumban, Hollandiában, Spanyolországban, Franciaországban és Olaszországban, Japánban. Állandó vendégművésze volt a Bayreuth-i Ünnepi Játékoknak, ahol több mint százszor lépett fel.

Sólyom-Nagy Sándor minden tekintetben kiegyensúlyozott művész. Elsősorban a drámai szerepeket kedveli, tökéletes énektechnika, egységes színezetű hang, szuggesztív előadásmód jellemezi alakításait. Mivel amikor még a Nagy Sándor nevet viselte, gyakran összekeverték névrokonaival, 1972-ben úgy döntött, hogy a családban már előforduló Sólyom nevet is felveszi. Feleségével, a zongorakísérő-korrepetitor Pogány Imolával a művészet hozta össze.

Három gyermekük közül Sólyom-Nagy Máté szintén az opera világát választotta, ő is bariton szerepeket énekel.

Sólyom-Nagy Sándor 1986-tól a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskola tanára, nagy hangsúlyt fektet a következő nemzedék képzésére. 1991-től az Operaház művészeti tanácsának elnöke és az igazgató állandó helyettese volt, 1989-től folyamatosan a Magyar Zeneművészek és Táncművészek Szakszervezetének elnöke.

Egy orvosi beavatkozás után 1992-ben szinte megnémult, viszontagságainak és gyógyulásának történetét 1998-ban Gyökerek, ágak, levelek című önéletrajzi kötetében adta közre.

Művészi munkásságát több díjjal ismerték el, 1972-ben Liszt-díjat, 1974-ben Székely Mihály-emlékplakettet, 1977-ben Érdemes Művész címet, 1988-ban Kiváló Művész címet, 1990-ben Erzsébet-díjat, 1998-ban Kossuth-díjat kapott, 2005-től a Halhatatlanok Társulatának örökös tagja. 2007-ben a Magyar Állami Operaház örökös tagjának és mesterművészének választották.

Tiszteletére december 21-én a Fészek Klubban neves előadóművészek rendeznek koncertet.